Geometrische Gruppentheorie (Sommer 2022)

Vorlesung

Mittwochs, 10-12 Uhr und donnerstags, 14-16 Uhr in SR 10, Gebäude E2.4

Inhalt

Die geometrische Gruppentheorie ist eine relativ junge mathematische Disziplin, die interessante Verbindungen zwischen der Gruppentheorie und der Geometrie herstellt. Ihr Ziel ist es, Gruppen mithilfe geometrischer Methoden zu untersuchen. Es gibt zwei Hauptansätze:

• Untersuchen, wie eine Gruppe auf einem geeigneten geometrischen Raum wirkt.
• Die Gruppe selbst als einen geometrischen Raum betrachten.

Die Wechselwirkung dieser beiden Bereiche hat in den letzten 50 Jahren zu einer Reihe mathematischer Durchbrüche geführt, darunter Gromovs Programm zur Klassifikation endlich erzeugter Gruppen, die systematische Untersuchung geschlossener dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten durch William Thurston, die Lösung des Isomorphieproblems hyperbolischer Gruppen durch Sela sowie der Beweis der Haken-Vermutung durch Ian Agol. Die Theorie der Automaten-Gruppen verknüpft die geometrische Gruppentheorie eng mit der Informatik.

Diese Vorlesung ist eine erste Einführung in die geometrische Gruppentheorie. Wir werden Cayley-Diagramme, die Theorie der Quasi-Isometrien und die sogenannte grobe Geometrie einführen. Einige Höhepunkte werden der Satz von Schwarz und Milnor sein, der geometrische Eigenschaften der Gruppe mit den geometrischen Räumen, auf denen sie wirkt, in Beziehung setzt, sowie Beispiele von Gruppen, die eine bedeutende Rolle in der aktuellen Forschung spielen. Dies wird Einblicke in eine reiche Welt zwischen Algebra und Geometrie bieten.

Die Vorlesung ist eine neue Stammvorlesung, die Zugang zu den mathematischen Disziplinen der beiden Dozenten bietet. Sie richtet sich an Bachelor- und Masterstudierende. Durch ihre algorithmischen Aspekte kann sie auch für Studierende der Informatik eine interessante Veranstaltung sein.

Organisatorisches

Prüfung: Zum Ende des Semesters werden individuelle Termine für mündliche Prüfungen vereinbart.