Funktionentheorie

Inhalt der Vorlesung

Gegenstand der Vorlesung "Funktionentheorie" ist die Theorie differenzierbarer Funktionen
einer komplexen Veränderlichen. Im Hinblick auf die Analysis II, wo bereits Funktionen
mehrerer Variablen untersucht wurden, könnte man vermuten, dass dies unter der üblichen
Identifikation von R² mit C lediglich die Diskussion eines einfachen Spezialfalls bedeutet.
Ganz im Gegenteil überrascht die Funktionentheorie aber mit einer Vielzahl neuer und
spannender Phänomene und liefert darüber hinaus Methoden, die für die verschiedensten
Bereiche der Mathematik und ihrer Anwendungsdisziplinen von großer Bedeutung sind.
Der Grund für die unerwartete Reichhaltigkeit dieser Theorie ist der spezielle Begriff
der komplexen Differenzierbarkeit (auch Holomorphie genannt), der die Funktionentheorie
zu einem natürlichen Analogon der reellen Analysis macht, zugleich aber wesentlich stärkere
Konsequenzen als sein reelles Gegenstück hat.
Zu ihren Begründern zählen Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.

Meilensteine der Vorlesung werden unter anderem die Integralsätze und -formeln von Cauchy,
der Residuensatz, der Satz von Montel, der Approximationssatz von Runge, der Satz von
Mittag-Leffler sowie der Produktsatz von Weierstraß sein.